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MIT数学最强本科生:2年半毕业,20多篇论文在手,还推动了停滞几十年的数学研究

来源:量子位

金磊 萧箫 发自 凹非寺

量子位 报道 | 公众号 QbitAI

很多数学系学生可能大三才刚刚接触“组合数学”,而一位21岁的MIT本科生已经悄悄解决了这个分支中最重要的一个理论——拉姆齐数

他就是Ashwin Sah,2016年的IMO金牌获得者,2018年还获得过首届阿里巴巴全球数学竞赛银奖。

并且,他只用了两年半就顺利从MIT毕业。

这个拉姆齐数让20世纪最高产的天才数学家保罗·埃尔德什研究了一生,无数数学家前赴后继,其中不乏阿贝奖得主,如今被Sah的研究又向前推进一大步。

对于Sah在图论上取得的前沿突破,加州理工学院的David Conlon教授如此评价:

他作为本科生,已经做了足够胜任教职的工作。

因为这项瞩目的成就,外媒Quanta Magazine近日对这位「天才少年」进行了深度采访。

那么他研究的“拉姆齐数”究竟是什么?在数学里又有着怎样的重要意义?

提升拉姆齐数上限,推动图论前沿进展

想知道Sah推动的拉姆齐数研究是什么,先要了解拉姆齐定理。

关于这个定理,有一个简单的应用实例:

在6个人当中,无论他们之间的关系如何,必定有3个人互相认识,或者3个人互不相识。

如果用图论的方法来思考,可以这么证明:

假设两个人之间如果互相认识,就用蓝色线连起来,如果彼此不认识,就用红色线连起来,那么无论怎么连线,必然能在6个点中连出三边同色的三角形。

但如果只有5个人的话,很快就能找到一种连不出同色三角形的方法。

小于5的数,也能被用同样的方法证明不符合这一结论。

现在,就可以引出拉姆齐数的定义了:

找一个最小的自然数R(k,l)=n ,使得n个人中必定有k个人互相认识或l个人互不相识。

其中,n就是拉姆齐数。

也就是说,R(3,3)=6,这里的6就是拉姆齐数。

看起来拉姆齐数似乎并不难找,但当顶点数稍微增加一点时,求解拉姆齐数的难度却会大大增加。

1930年,拉姆齐本人求出R(3,3)=6,1995年,数学家把求解推进到R(4,5)=25,至于R(5,5)是多少,数学家到现在也不知道,只知道它介于43到48之间。

这是为什么呢?

想象一下,要连线的顶点数从6个变成了40个,哪怕只用2种颜色随机在两点间连线,也有2780种方法。

换算下来,就是要进行6.35×10234次连线判断,对比宇宙中所有的粒子总数,也不过3.28×1080个。

这还只是2种颜色的情况,至于3种颜色、4种颜色……

要在这么多种连线的组合里,找到5个点两两相连是否必然存在的情况,几乎是不可能做到的事情。

虽然无法求出拉姆齐数的准确值,但是数学家们一直在想办法限制其范围。

对于R(5,5)来说,其上限和下限分别就是48和43。

从1930年起,就有科学家开始研究拉姆齐数的上下限的公式,来缩小拉姆齐数的范围。

著名数学家保罗·埃尔德什研究了几十年,得到了一个著名的上下限公式:

然而这个范围还是不够小。

Ashwin Sah在今年5月提出的证明方法,基于2009年Conlon的论文进行了改进,并提出了两种颜色的拉姆齐数的新上限。

论文给出的推论,被许多业内人士认为是使用现有研究线索可以获得的最佳结果

他给出的上限计算公式,对于R(4,4)以上的拉姆齐数都有效。

目前这一论文所采用的方法,已经被少数数学家进行了优化。

对此,David Conlon教授表示:

他将这种方法推理到了极限。

能被开创这种方法的作者给予如此高度的评价,也说明了Sah所完成工作的难度和前沿性。

10月29日,专门针对美国、加拿大和墨西哥大学生在数学领域表现优异的摩根奖,授予了Sah和另外一名学生Mehtaab Sawhney,以表彰他们本科时期在离散数学、概率等领域作出的贡献。

相较于同龄人,在本科阶段就能达到这样的数学水平,也与Sah的成长经历密不可分。

从小展露数学光芒

除了自身的天赋外,Sah一直保持着对数学的钻研精神。

外媒Quantamagazine给予他这样的评价:

A Life of Math.

这不仅仅是基于他在近期取得的成就,而是从小就与数学结下了的不解之缘。

Ashwin Sah出生在美国俄勒冈州的波特兰市,他在回忆儿时情节时表示:

我现在比较印象深刻的儿时记忆,是妈妈在教我一些基本的算术。

△11岁的Ashwin Sah在做数学题

2016年夏天,年仅16岁的他,便在香港举办的国际数学奥林匹克竞赛(IMO)中,斩获金牌。

可以说,Ashwin Sah在一次次的竞赛中,「品尝」到了高等数学的魅力。

紧接着第二年,也就是在17岁的年纪,他便顺利进入MIT。

两年半MIT毕业,师从华裔教授赵宇飞

事实上,从2017年进入MIT学习,到2020年本科毕业、读上研一,Ashwin Sah也只用了两年半的时间。

自2018年1月以来,到今年11月,算上预印本,Ashwin Sah一共发表了27篇论文。

他的本科论文已经有引用量,最高的一篇有8人引用,这篇是关于不规则图中独立集的数目的。

其他两篇引用较高的文章,虽然人数不多,但他也都是一作。

即使部分还是预印本,但本科期间就能获得这么多的研究成果,的确不得不令人赞叹。

除了自身的天赋与努力外,还有2位「伯乐」般的人物,对他的数学发展起到了至关重要的作用。

首先是他的导师,MIT华裔知名数学教授赵宇飞

在MIT的第一年,Ashwin Sah修了一门课程,是与组合数学相关的研讨会。

但要知道,这门课程难度是研究生水平,而且汇集了全世界顶尖数学人才。

但即便如此,Ashwin Sah也在此脱颖而出。

作为这门课程的老师,赵宇飞这样评价道:

尽管他只是大一的学生,但很显然,他已经掌握了这门课程。

第二位重要人物,是比Ashwin Sah高一年级的学长,Mehtaab Sawhney

Mehtaab Sawhney是在课堂上与Ashwin Sah相识,很快便成为了朋友。

这期间,他们共同进行了许多研究,主要与离散数学相关,包括其中的图论、概率和随机矩阵等。

但当时他们的所学知识还是有一定的局限,所以解决的问题普遍都比较简单,是不需要多年经验积累的那种。

正如Mehtaab Sawhney所说:

我喜欢解决的问题,是那种可以从基本原理开始思考,而不是那些需要翻阅大量的文献,或者拥有大量理论基础才能思考的问题。

赵宇飞教授也会对他们进行指导,例如教他们如何写正式的论文。

他还会「派」给他们一些特定的问题,让他们去做研究,本以为会让他俩忙活一段时间。

但令赵宇飞万万没有想到的是……往往第二天,他们就把答案给交上来了。

就是如此的动力和效率,让他们在短短三年的时间里,能够完成几十篇论文。

赵宇飞对他们的评价非常之高,认为是他们所取得的成就是史无前例

(MIT)的本科生研究有着悠久的历史和传统,但在论文的质量和数量上,都达不到Ashwin Sah和Mehtaab Sawhney的水平。

目前,这两位小伙伴已经步入研究生生涯,他们还是保持着高频率的「会面」,用Sawhney的话就是:

我们每天见面一两次,每次五六个小时。

即便存在疫情等客观原因,他们还是会保持非常高频率的信息互动。

「羡慕有研究方向高度重合的伙伴」

对于学生的报道,MIT助理教授赵宇飞第一时间进行了转发,表示祝贺。

网友们也第一时间送上了自己的祝福,并表示这样的故事非常激励自己,“就像一盆冷水泼到我的脸上,提醒我继续不断努力。”

也有人单纯对这份研究进展感到惊喜,并引用了Paul Erdos有关拉姆齐数的表述:

如果外星人要入侵地球,除非我们能给出R(5,5)的答案,那我们就算是有最聪明的人和计算机,也得用一年时间;要是外星人要R(6,6)的答案的话,那别想了,我们主动进攻吧。

当然,对于他的研究经历,更多的是表示羡慕的网友:找一个研究方向高度重合的伙伴,共同提升效率,可是件非常不容易的事情。

那么,对于AshwinSah的经历,你有什么感想?

欢迎在评论区留言~

论文地址:

https://arxiv.org/abs/2005.09251

参考链接:

https://www.quantamagazine.org/mit-undergraduate-math-student-pushes-frontier-of-graph-theory-20201130/

http://www.ams.org/prizes-awards/paview.cgi?parent_id=19

http://www.mit.edu/~asah/research.html

https://yufeizhao.com/blog/

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